مقدار مورد انتظار مفهومی است که در نظریه احتمال و آمار برای محاسبه میانگین نتیجه یک متغیر تصادفی استفاده می شود. این نشان دهنده مقدار متوسط ​​بلندمدت است که می توان از یک موقعیت یا رویداد معین انتظار داشت. بسته به ماهیت متغیر تصادفی و داده های موجود، روش های مختلفی برای محاسبه مقدار مورد انتظار وجود دارد. در این پاسخ، ما سه روش رایج برای محاسبه مقدار مورد انتظار را بررسی خواهیم کرد: رویکرد فرمول ریاضی، رویکرد میانگین وزنی، و رویکرد درخت تصمیم.

1. رویکرد فرمول ریاضی

روش فرمول ریاضی برای شرایطی مناسب است که توزیع احتمال متغیر تصادفی مشخص است یا قابل تعیین است. مقدار مورد انتظار با ضرب هر نتیجه ممکن در احتمال متناظر آن و جمع بندی این مقادیر محاسبه می شود.

بیایید مثالی را در نظر بگیریم که در آن یک متغیر تصادفی X با سه نتیجه ممکن داریم: x1، x2، و x3، با احتمالات p1، p2 و p3 به ترتیب. مقدار مورد انتظار (E(X)) را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

E(X) = (x1 p1) + (x2 p2) + (x3 * p3)

به عنوان مثال، اگر ما یک قالب شش وجهی مناسب داشته باشیم، نتایج ممکن 1، 2، 3، 4، 5، و 6 است که هر کدام با احتمال 1/6 است. مقدار مورد انتظار خواهد بود:

E(X) = (1 1/6) + (2 1/6) + (3 1/6) + (4 1/6) + (5 < em> 1/6) + (6 1/6) E(X) = 3.5

بنابراین، مقدار مورد انتظار چرخاندن یک قالب شش وجهی منصفانه 3.5 است.

2. رویکرد میانگین وزنی

رویکرد میانگین وزنی هنگام برخورد با موقعیت‌هایی که نتایج مختلف وزن یا فرکانس متفاوتی دارند، مفید است. به جای استفاده از احتمالات، به هر نتیجه بر اساس اهمیت نسبی یا فراوانی وقوع آنها وزن می دهیم.

برای محاسبه مقدار مورد انتظار با استفاده از رویکرد میانگین وزنی، هر نتیجه را در وزن متناظر آن ضرب می کنیم و این مقادیر را جمع می کنیم. فرمول به شرح زیر است:

E(X) = (x1 w1) + (x2 w2) + (x3 * w3) + …

به عنوان مثال، بیایید سناریویی را در نظر بگیریم که در آن نمره نهایی دانش‌آموز با سه مؤلفه تعیین می‌شود: امتحانات (وزن 40 درصد)، تکالیف (وزن 30 درصد)، و شرکت در کلاس (30 درصد وزن). نتایج ممکن و نمرات مربوطه برای هر جزء به شرح زیر است:

امتحانات: A (90)، B (80)، C (70) تکالیف: A (95)، B (85)، C (75) شرکت در کلاس: A (100)، B (90)، C (80)

با استفاده از رویکرد میانگین وزنی، می‌توانیم نمره مورد انتظار را با ضرب هر نتیجه در وزن آن و جمع‌بندی این مقادیر محاسبه کنیم:

E (درجه) = (90 0.4) + (80 0.3) + (70 * 0.3)

 = 36 + 24 + 21
     = 81

بنابراین نمره مورد انتظار برای این دانش آموز 81 خواهد بود.

3. رویکرد درخت تصمیم

رویکرد درخت تصمیم به ویژه هنگام برخورد با موقعیت‌های پیچیده که شامل مراحل متعدد تصمیم‌گیری و عدم قطعیت است، مفید است. این شامل ساختن یک درخت تصمیم است که تمام نتایج ممکن و احتمالات مرتبط با آنها را نشان می دهد.

برای محاسبه مقدار مورد انتظار با استفاده از رویکرد درخت تصمیم، هر نتیجه را در مرحله نهایی در احتمال آن ضرب می کنیم و با در نظر گرفتن احتمالات در هر نقطه انشعاب، این مقادیر را به عقب در درخت منتشر می کنیم.

به عنوان مثال، بیایید سناریویی را در نظر بگیریم که در آن یک شرکت در حال تصمیم گیری در مورد سرمایه گذاری در عرضه محصول جدید است. نتایج بالقوه و احتمالات مرتبط با آنها به شرح زیر است:

• در صورت موفقیت‌آمیز بودن محصول، شرکت سودی معادل 1 میلیون با احتمال 0.6 به دست می‌آورد. -اگر محصول نسبتاً موفق باشد، شرکت با احتمال 0.3 به سود 500000 خواهد رسید.
• اگر محصول شکست بخورد، شرکت متحمل ضرر 200000 با احتمال 0.1 خواهد شد. 000*0.1)=600000+ 150,000−20,000=730,000

بنابراین سود مورد انتظار از سرمایه گذاری در عرضه این محصول جدید 730000 دلار است.